Completion d’une classe de demi-treillis topologiques, applications

La notion de fonction totalement croissante (ou monotone d’ordre infini dans G. Choquet [1]) étend au cas des ensembles partiellement ordonnés la notion habituelle de fonction de répartition Fμ d’une probabilité μ sur R. L’étude générale des fonctions totalement croissantes f : E → R remonte à G.Choquet et A.Revuz [5]. Celui-ci montre qu’il est naturel de supposer que E est un demi-treillis inférieur, c’est à dire un ensemble ordonné (E,≤) dans lequel toute paire {x, y} d’éléments de E a une borne inférieure notée x ∧ y. Dans la suite, (E,≤) sera toujours un demitreillis inférieur. Les notations et résultats rappelés dans la suite de ce paragraphe proviennent essentiellement de [5]. On appelle cône négatif de sommet x l’ensemble C−(x) = {t ∈ E/t ≤ x} ; on a C−(x)∩C−(y) = C−(x∧y). Pour toute partie finie P de E on convient d’appeler aussi cônes les ensembles C−(x;P ) = C−(x) \ ⋃ p∈P C−(p) et C−(.;P ) = E \ ⋃ p∈P C−(p). L’anneau booléen B engendré par les cônes C−(x) est l’ensemble des unions finies disjointes de cônes C−(x;P ). Lorsque μ est une mesure sur E, si les cônes C−(x) sont mesurables et de mesure finie, on définit une application Fμ : E −→ R par Fμ(x) = μ(C−(x)) qu’on appelle la fonction de répartition de μ. Réciproquement,